Les idées reçues au poker

Bonjour,

je reprends ici les posts sur les maths, en même temps que sur mon blog Maths & Poker

Les idées reçues au poker

Une idée reçue, c'est quelque chose qui se répète, qui se transmet et...qui n'a aucun fondement. La littérature sur le poker en est remplie, et il y a de quoi en écrire tout un livre.

Je vais commencer par une des plus répandues. En parcourant mes livres, je l'ai trouvée formulée 4 ou 5 fois et en cherchant sur internet, j'ai trouvé de nombreux sites qui développent la même idée dans leurs conseils stratégiques. Je ne citerai donc personne pour ne pas me faire d'ennemis, mais je vais reformuler cette idée très répandue :

« La probabilité de remporter le coup avec une paire d'as diminue fortement en fonction du nombre de joueurs en jeu. Avec une paire d'as, il faut donc miser ou relancer fortement pour n'avoir plus qu'un ou deux adversaires. »

On peut vraiment dire que cette phrase est une idée reçue : tout le monde l'accepte, beaucoup la répètent et (jusqu'à aujourd'hui) personne ne dit vraiment le contraire. Ce n'est pas très grave d'avoir des idées reçues si elles sont justes. Le problème de celle-ci, c'est que quasiment TOUT CE QU'ELLE CONTIENT EST FAUX !!!`

Commençons par le commencement : « La probabilité de remporter le coup avec une paire d'as diminue fortement en fonction du nombre de joueurs en jeu ». Est-ce que cette probabilité diminue ? Bien sûr. Avec n'importe quelle main, la probabilité de gagner le coup diminue avec le nombre de joueurs, c'est une évidence.

Mais est-ce que la probabilité diminue fortement pour la paire d'as ? Il y a au holdem 169 possibilités de classes de mains (c'est-à-dire des mains équivalentes) :
- 13 paires
- 78 non-paires assorties
- 78 non-paires non assorties
Et bien , parmi ces 169 classes de mains, la paire d'as est celle dont la probabilité de gain diminue le moins avec le nombre de joueurs !
Cette probabilité est de 85% avec un adversaire et de 31% avec 9 adversaires. Elle est donc divisée par 2,7 quand on passe de 2 à 10 joueurs.
En comparaison, la probabilité d'une paire de 4 passe de 55% à 12% Elle est donc divisée par 4,7 en passant de 2 à 10 joueurs.
Pour un connecteur assorti comme 65, on passe de 43% à 12% soit une division par 3,6.
Bref, vous pouvez calculer ces données pour les 169 classes de main possibles au holdem et vous constaterez la vérité suivante :

La paire d'as est, de toutes les mains possibles, celle dont la probabilité de gain diminue le moins quand le nombre de joueurs augmente.

On voit donc qu'il y a tout de suite quelque chose qui cloche dans notre idée reçue. Si le raisonnement était vrai, il serait encore plus vrai pour une paire de 7, AK ou 72 qu'il ne l'est pour une paire d'as. Mais comme la suite du raisonnement est encore plus fausse, ce n'est pas bien grave.

Qu'est ce qui cloche ensuite ? Et bien c'est qu'on essaie de nous faire croire que c'est grave de voir sa probabilité de gain diminuer. Autrement dit, tous ces auteurs raisonnent comme si l'objectif du joueur de poker était de remporter le coup...Malheureusement, il n'y a pas de plus gros contresens que celui-ci au poker. Il n'est jamais inutile de le rappeler : l'objectif du joueur de poker n'est pas de gagner le plus de coups possible, il est de maximiser son espérance de gain.

Alors essayons de raisonner sainement sur la paire d'as. La probabilité de gain préflop diminue, bien sûr, et beaucoup plus faiblement que pour tout autre type de main, ce qui est moins connu. Mais ce qui est intéressant, c'est de comparer cette probabilité de gain à celle d'une main quelconque. Et celle-ci diminue évidemment aussi avec le nombre de joueurs. Elles n'est pas compliquée à calculer : 1/2 à deux joueurs, 1/3 à 3 joueurs, ...jusqu'à 1/10 à 10 joueurs.

Représentons alors ces deux probabilités sur un même graphique :



On peut déjà voir ici que, lorsque le nombre de joueurs augmente, la probabilité de la paire d'as baisse moins que celle de la main moyenne (ce qui est bien normal puisqu'elle baisse moins que celle de tous les autres types de mains).

Pour le voir encore mieux, il n'est pas inutile d'introduire un nouveau concept : le ratio de probabilité. Il se calcule pour un type de mains comme la probabilité de gain préflop de ce type de main divisé par la probabilité de gain préflop de la main moyenne (autrement dit sur le graphique ci-dessus, le rapport entre les barres bleues et les barres rouges). Attention, ce ratio de probabilité n'est pas une probabilité ! Il peut être inférieur à un (pour les mains faibles) ou supérieur à un (pour les mains fortes). Il exprime justement la force relative préflop d'un type de mains donné pour un nombre de joueurs donné.

Alors voici que donne ce ratio de probabilité pour la paire d'as, selon le nombre de joueurs :



On voit que ce ratio augmente régulièrement de 1 à 6 adversaires, puis il est à peu près stable. Ce n'est pas la même chose pour toutes les mains.

Autrement dit, une paire d'as est une main d'autant plus forte par rapport aux autres mains qu'il y a plus de joueurs autour de la table.

C'est à dire que c'est exactement le contraire de ce qu'on trouve généralement dans la littérature. Et c'est bien normal. En heads-up, une main quelconque a 50% de chances de gagner. Un as n'a que 85%, c'est à dire 1,7 fois plus. Alors qu'à 10, une main quelconque a 10% de chances de gagner et une paire d'as 31%, soit 3,1 fois plus.

C'est un premier pas vers la vérité, mais ça ne suffit pas encore. Car pas plus que l'objectif du joueur n'est de maximiser sa probabilité de gagner le coup, il n'est de maximiser son ratio de probabilité. Il est, on se répète, de maximiser son espérance de gain.

Rappelons donc comment on calcule l'espérance de gain. C'est la probabilité de gagner multipliée par le pot qu'on gagne, diminuée des jetons qu'on a investi .

Pour le sujet qui nous occupe, supposons que c'est nous qui avons le choix de miser ou relancer plus ou moins sur le BB avec une mise M. Le nombre de joueurs restant en jeu dépendra de M : appelons-le n. S'il n'y a pas de relance sur nous,le pot P sera égal à nxM. Notre probabilité de gain dépend de n selon le graphique ci-dessus : p(n)

Notre espérance est donc :
E= p(n) x (nxM) - M

C'est la que le mal de tête commence :
- plus notre mise est élevée, plus nous augmentons la hauteur à laquelle les joueurs restant en jeu vont contribuer au pot
- en même temps nous diminuons le nombre probable de joueurs qui vont rester en jeu,
- et en le diminuant, nous augmentons notre probabilité de gagner le coup.

Autrement dit la hauteur de notre mise va générer trois conséquences contradictoires qui tirent l'espérance de gain dans des sens différents... Et les tenants de notre idée reçue n'en retenaient qu'une, la probabilité, et ignoraient les deux autres qui conditionnent le montant du pot.

Alors, essayons d'y voir clair : comment évolue notre espérance en fonction de notre mise préflop ?

Pour cela, nous sommes obligés de prendre un cas particulier et de formuler quelques hypothèses. Supposons une table de 10. Vous êtes UTG et vous avez le choix de votre mise. Supposons que le nombre de joueurs entrant dans le pot en dépende de la manière suivante :



Pour chacune de ces valeurs de mise, on peut donc calculer le pot, la probabilité de le gagner et au final, l'espérance de gain.



On a pris l'hypothèse que lorsque 2 joueurs ou plus suivent, le SB et le BB en font partie. Lorsqu'aucun joueur ne suit, l'espérance de gain est évidemment égale au blinds.

On peut alors représenter l'espérance en fonction de la mise :



On voit que le maximum est obtenu en relançant de 2 fois le BB, de manière à conserver 2 adversaires. Ca ne change pas grand chose d'en conserver 1 ou 3. Le pire est bien sûr de se contenter d'encaisser les blinds.

Il y a une petite erreur méthodologique dans le raisonnement ci-dessus : c'est que les joueurs qui suivent ont plutôt une meilleure main que la main moyenne. Cela ne joue pas beaucoup pour deux raisons. D'abord avec une paire d'as, le phénomène joue peu (ce ne serait pas pareil avec 22). Les probabilités de gain d'une paire d'as sont assez voisines contre toutes les mains. Et ensuite, la main des joueurs qui suivent a d'autant de chances d'être plus forte que la relance est élevée, ce qui vient conforter notre raisonnement.

On peut aussi dire que ce résultat dépend de mon tableau tout à fait empirique du nombre d'adversaires suivant une mise et que ce nombre dépend beaucoup d'autres facteurs...Essayez d'autres tableaux et vous constaterez que ça ne change pas grand chose au résultat : On n'a strictement aucun intérêt à faire fuir une majorité d'adversaires avec une paire d'as. Au contraire, on a intérêt à ce qu'il en reste un maximum. Néanmoins on a intérêt à gonfler le pot, ce qui doit conduire à miser raisonnablement pour concilier ces deux exigences.

Plusieurs autres arguments vont dans le même sens du raisonnement:
- la probabilité d'être sur-relancé, ce qui est quand même assez plaisant quand on a une paire d'as, est d'autant plus forte que la relance initiale n'est pas trop élevée ;
- les cotes implicites après le flop seront d'autant plus élevées qu'on n'a pas trop dévoilé la force de sa main par une relance forte
- si on ne relance fortement qu'avec les nuts, ça va finir par se savoir et on se contentera des blinds à tous les coups ; bien sûr on peut équilibrer son jeu en relançant parfois de 5 BB avec 72, mais je préfère laisser ce genre d'amusements à d'autres ;
- enfin, si la situation post-flop s'avère effectivement catastrophique, on n'aura pas trop investi...

On voit donc qu'on a ici affaire à une véritable idée reçue, ce qui ne serait pas grave en soi, mais surtout qu'elle est complètement fausse tant dans le raisonnement que dans le résultat, ce qui l'est un peu plus...

Alors pourquoi cette idée reçue est-elle si répandue? Sans doute parce qu'elle est recopiée sans cesse et que c'est plus facile de copier que de réfléchir. Mais, je pense que c'est aussi parce que les joueurs de poker perdent souvent de vue leurs objectifs. Ils n'aiment pas perdre un coup, et ils détestent perdre le coup avec une paire d'as ! Alors cette idée reçue les satisfait parce qu'elle leur évite de voir leur si beau jeu anéanti par une quinte au 7...

C'est bien sûr oublier que l'objectif au poker, répétons le une fois de plus, n'est pas de gagner le maximum de coup mais de maximiser son espérance de gain.

Si on n'a pas de bad beats, c'est tout simplement qu'on joue mal...

je suis entierement d accord avec toi ......

parait tellement simple ecrit comme ca!!!
merci

Superbe article. Je débute au Poker et j'adore les probas mais je n'ai pas eu le temps de me pencher la dessus. Article intéressant, beau travail de réflexion et de rédaction. Bravo! Je vais de ce pas faire un tour sur le Blog Math & Poker...

Magnifique comme d'hab, Pierre !!

et parfaitement exact en terme d'espérance de gain, sans l'ombre d'un doute.

Je mettrais juste un petit bémol (comme quoi le poker, ce n'est pas et ne sera jamais une science exacte, régi par les pures mathématiques) :

Certaines considérations stratégiques peuvent être prédominantes, et faire passer l'espérance de gain au second plan.
Quelques exemples :
* à la bulle, surtout d'un satellite ou d'un Sit&Go, on peut vouloir refuser un coup avec une espérance de gain énorme, pour ne pas prendre du tout le risque de sauter, fût-ce avec 80% de chances de gagner le coup..
* un exemple caricatural : en BB à la première main d'un Sit&Go, les 9 autres envoient leur tapis, et on se découvre une paire d'As en main : même sans faire le calcul d'ICM, est-ce qu'il vaut mieux avoir 31% de chances de gagner tout de suite, et 69% de perdre, ou plutôt être pratiquement sûr d'être au moins deuxième, avec 10% de chances de gagner ?

Bref, je dirais que ton raisonnement, basé sur la stricte espérance de gain, est valable dans la majorité des situations :
* toujours en cash game
* presque toujours en grand tournoi, sauf circonstances particulières
* mais bien réfléchir aux considérations stratégiques en Sit&Go, j'y reviendrai..

tres bon article merci beaucoup,
et ca fait plaisir de recuperer l'adresse de ton blog, je l'avais perdu,
c'est parfait !!!

Très beau raisonnement, très intéressant !!

Bravo vraiment !!

(quelques nuances sont peut être à apporter, mais Jupiter à déjà fait part de ces dernières en partie...)

Sachant que l'article n'est là que pour démontrer une idée fausse et qu'il le fait à merveille, félicitation encore Maitre Fiastre

Rien à rajouter sur ce qui a été dit notamment par Jupiter et relayé par Simon.

En somme, ce qu’a démontré brillamment Maître Fiastre, c’est que si on veut faire des jetons avec la paire d’as c’est qu’il ne faut pas nécessairement limiter le nombre d’adversaires.

Par contre comme a commencé à le dire le Coach Parisien, c’est qu’en tournoi et en Sit&go, faire des jetons n’est pas forcément la priorité des priorités. A ce propos Jean Paul, nous attendons la suite, nous pôôvres pousseurs de jetons.

Nota01 :

Dans son malheur, il y a eu un peu de notre bonheur. S’il avait reçu ses jetons, Pierre n’aurait jamais eu le temps de publier cet article. On dit merci qui ?… nan je plaisante.

Nota02 :

Wolverine écrit:

Bravo! Je vais de ce pas faire un tour sur le Blog Math & Poker...

Malheureux, n’y vas surtout pas !!! Tous ceux qui ont essayé, et j’en fais partie, ont perdu définitivement leurs illusions. Avant je pouvais encore croire au Père Noël.

c'est quand même facile les stat présentées comme cela

bravo jolie présentation

pepe_paire écrit:

Par contre comme a commencé à le dire le Coach Parisien, c’est qu’en tournoi et en Sit&go, faire des jetons n’est pas forcément la priorité des priorités. A ce propos Jean Paul, nous attendons la suite, nous pôôvres pousseurs de jetons.

Merci, et désolé, mais ça va prendre un peu de temps..

Comme je l'ai indiqué sur mon blog, je mets actuellement les bouchées doubles, après le challenge, pour finir ces jours-ci la traduction du Harrington v3 (quelle merveille soit dit en passant, j'y ré-apprends tous les jours en traduisant). Il sera disponible avant l'été, c'est promis !
Ce qui veut dire aussi que le v2 est pour bientôt...

Jupiter écrit:

Certaines considérations stratégiques peuvent être prédominantes, et faire passer l'espérance de gain au second plan.
Quelques exemples :
* à la bulle, surtout d'un satellite ou d'un Sit&Go, on peut vouloir refuser un coup avec une espérance de gain énorme, pour ne pas prendre du tout le risque de sauter, fût-ce avec 80% de chances de gagner le coup..
* un exemple caricatural : en BB à la première main d'un Sit&Go, les 9 autres envoient leur tapis, et on se découvre une paire d'As en main : même sans faire le calcul d'ICM, est-ce qu'il vaut mieux avoir 31% de chances de gagner tout de suite, et 69% de perdre, ou plutôt être pratiquement sûr d'être au moins deuxième, avec 10% de chances de gagner ?

Bref, je dirais que ton raisonnement, basé sur la stricte espérance de gain, est valable dans la majorité des situations :
* toujours en cash game
* presque toujours en grand tournoi, sauf circonstances particulières
* mais bien réfléchir aux considérations stratégiques en Sit&Go, j'y reviendrai..

Salut Jean-Paul,

on va recommencer à discuter !

De manière générale, l'espérance mathématique est toujours le critère à maximiser.

Mais il s'agit de l'espérance mathématique en argent, pas en jetons. Alors effectivement, en cash-game, les jetons, c'est de l'argent, mais en tournoi, non ! l'argent, c'est les places payées.

Au début d'un multi-tables, on peut l'assimiler: tes jetons sont proportionnels à ta probabilité de finir premier (toutes choses égales par ailleurs), mais à l'approche de la bulle les choses changent effectivement. Il en est de même dans un Sit&Go.

Pour pousser ton deuxième exemple, si la première place est payée P1 et la deuxième P2:
- en suivant le tapis, ton espérance est 0,31xP1
- en ne le suivant pas, tu as 1/9 de gagner face à un adversaire qui a 9 fois plus de jetons, et donc 8/9 de finir second, donc ton espérance est de P1/9+8xP2/9
Elles sont donc égales si :
0,31xP1=P/9+8xP2/9 soit P2=0,22P1
Donc si P2 est supérieur à 22% de P1, ce qui est généralement le cas en sit&go, l'espérance mathématique en argent te dit qu'il ne faut pas suivre le tapis...
(à ceci près que je ne sais pas à qui on paye la deuxième place si tout le monde fait tapis à la première main...).

Mais juste pour me contredire, et pour le fun: si on est 10 au tapis et que tu as AA, il y a de grandes chances que les autres mains soient:
2 fois AK
1 fois KK
2 fois QQ
2 fois JJ
2 fois TT
Auquel cas, elles ont toutes d'infimes chances de s'améliorer....
Bon, c'est comme quand tu as 13 coeurs au bridge et que tu entends l'adversaire dire 7 piques...

Donc, si tu maximises à chaque coup ton espérance en argent, ce qui n'est pas toujours facile à évaluer, tu maximises ton gain à long terme.

Mais évidemment, si ce n'est pas ton objectif, tout change...Si tu veux absolument finir premier d'un tournoi, passer à la télé, plaire aux filles, etc...il y a d'autres stratégies !

fiastre écrit:

on va recommencer à discuter !

De manière générale, l'espérance mathématique est toujours le critère à maximiser.

Mais il s'agit de l'espérance mathématique en argent, pas en jetons. Alors effectivement, en cash-game, les jetons, c'est de l'argent, mais en tournoi, non ! l'argent, c'est les places payées.

C'est bien ce pourquoi je suis d'accord que ton magnifique raisonnement s'applique dans énormément des situations au poker.. Je dirais toujours en cash-game, et pratiquement toujours en mtt

Donc si P2 est supérieur à 22% de P1, ce qui est généralement le cas en sit&go, l'espérance mathématique en argent te dit qu'il ne faut pas suivre le tapis...
(à ceci près que je ne sais pas à qui on paye la deuxième place si tout le monde fait tapis à la première main...).

Et c'est ce pourquoi je recommande de ne pas l'appliquer en Sit&Go, où les coin flips sont la plupart du temps à proscrire avant les places payées..

nicokent écrit:

hormis l'exemple de la bulle, encore que ça se discute parce qu'il vaut mieux faire 1 fois 1er en MTT que 10 fois juste dans les payés (à valeur égale de MTT), même en sng, le raisonnement de pierre tiens la route : 31% de chance de gagner, on peut arrondir à 1/3, c'est plus simple.
donc 1 fois sur 3 tu gagnes.
on a tous 100 de tapis, je vais miser 3 fois 100 pour gagner 1 fois 1000. donc retour sur invetissement de 700 jetons.
de plus, tu vas finir 7 ou 8 fois sur 9 1er mais même sans tenir compte de ça, quand je vois les stats du challenger, je me dis que si tu avais gagné 1 fois sur 3, tu aurais atteint ton objectif.

si je me trompe pas en sng single table c'est 50% au 1er, 30% au 2ème et 20% au 3ème.

donc si tout le monde mise 10 ça fait 100, je mise 30 (3 fois 10) et je gagne 50 (1 fois 50% de 100) selon les stats.
je sais pas toi mais moi je signe tout de suite.

Je pense qu'en Sit&Go, le raisonnement ne doit pas être celui-là !
Si on prend l'exemple extrême des 9 devant toi à tapis à la première main, c'est un calcul d'ICM qu'il faut faire, alors comme on est reparti avec Pierre sur les maths, allons-y...
(pour répondre à sa question, et simplifier un peu, je prends 2 hypothèses: 1) si on suit avec les As, on gagne le coup. 2) si les 10 sont à tapis, un seul gagne les 500, et les 9 autres se partagent les 500 qui restent)
Donc les espérances de gain E sont, pour un buy-in de $100 :
1) Je paye :
E = (0,31 x 500) + (0,69 x 500/9) = $193, ce qui soit dit en passant est presque le double de son espérance de départ, $100 par définition
2) J'assure la seconde place :
calcul ICM simple à 2 joueurs (de force équivalente, on se retrouve avec 90 jetons, 100-la BB, contre 910) :
on a 9% de chances de gagner, 91% de faire deuxième :
E = (0,09 x 500) + (0,91 x 300) = $318

Tu payes toujours ???
Pas moi

Jupiter écrit:

Et c'est ce pourquoi je recommande de ne pas l'appliquer en Sit&Go, où les coin flips sont la plupart du temps à proscrire avant les places payées..

Tu peux même recommander, quand deux joueurs avec des stacks équivalentes font tapis avant toi, de jeter ton jeu sans le regarder.

fiastre écrit:

Tu peux même recommander, quand deux joueurs avec des stacks équivalentes font tapis avant toi, de jeter ton jeu sans le regarder.

Je suis très étonné qu un cartésien comme toi n’interroge pas l’Icm pour caller ou folder dans cette situation

nicokent écrit:

Jupiter écrit:

2) si les 10 sont à tapis, un seul gagne les 500, et les 9 autres se partagent les 500 qui restent)

explique : si tous sont à tapis, un seul gagne les tapis des autres non ? pourquoi faut partager ?

Jean Paul parlais sans doute des 500$ attribués à la première place, soit comme tu l’as dit = 50% de l'ensemble des buy-in.

nicokent écrit:

Jupiter écrit:

2) si les 10 sont à tapis, un seul gagne les 500, et les 9 autres se partagent les 500 qui restent)

explique : si tous sont à tapis, un seul gagne les tapis des autres non ? pourquoi faut partager ?

On est en Sit&Go, pas en cash !

Le gagnant gagne la première place = 500

restent les gains des 2è et 3è.. Comme tous sont à égalité, je redistribue ces gains (300+200=500) aux 9 autres, soit 55,55 chacun.. ça me semble le plus logique, et correct pour les calculs,non ?

pepe_paire écrit:

fiastre écrit:

Tu peux même recommander, quand deux joueurs avec des stacks équivalentes font tapis avant toi, de jeter ton jeu sans le regarder.

Je suis très étonné qu un cartésien comme toi n’interroge pas l’Icm pour caller ou folder dans cette situation

Bon, alors je vais le faire, le calcul d'ICM !
Résultat assez marrant et instructif d'ailleurs...

Une hypothèse : je prends pour suivre l'ami Pierre Fiastre
une situation où nous sommes 3 restants, donc payés 500, 300 et 200.
Tapis égaux pour les 3 :
Je suis le dernier à parler, les deux autres envoient tapis, OK ?

Les ICM :
au départ, par définition $333 chacun.

3 possibilités:
1) Je passe, et les laisse se battre :
Ils font égalité, rien n'a changé aux blinds près que nous allons négliger

2) Je passe, A gagne : B touche les 200 de la 3ème place, nous nous retrouvons avec 2.000 contre 1.000,
soit A 67% de chances de faire 1er, 33% second, moi l'inverse.
mon espérance de gain (equity ICM) :
(0,33 x 500) + (0,67 x 300) = $367

3) Je suis, et je pars du principe que les deux ont une main légitime (A-A à T-T, A-K, A-Qs). Ca me donne 70% de chances de remporter le coup, 15% à chacun des deux autres..
Je vous épargne le calcul détaillé de l'espérance de gain : elle est de $425 dans ce cas-là :

il faut suivre sans hésiter, avec les As bien sûr

En début de Sit&Go, c'est une autre histoire, et ça demanderait une analyse plus poussée... à suivre